I.3
Robuste Schätzung von Kostengewichten

Als Beispiel sei ein Extremfall genommen: Wenn wir eine Stichprobe mit 100 Behand­lungs­fällen bei einer durch­schnitt­lichen Verweildauer von 10 Tagen haben, dann genügt das Hinzufügen eines einzigen Langliegers mit einer Verweildauer von 1000 Tagen, und schon steigt die durch­schnitt­liche Verweildauer um 100 % auf 20 Tage.

Gesucht sind Methoden, die Mittel­werte und Streuungsmasse liefern, welche von zufällig in der Stichprobe vorhandenen Ausreissern möglichst nicht beeinflusst werden. Solche Methoden werden «robuste» Methoden genannt.

Der Bruchpunkt («breakdown point») ε* gibt den Anteil der Stichprobe an, welche verändert werden kann, ohne dass sich der Schätzwert über alle Massen verändert.1

Für das arithmetische Mittel kann ein einziger Wert genügen, um es stark zu verändern. (Dies war der Fall im obigen Beispiel.) Der Bruchpunkt des arithmetischen Mittels ist deshalb ε* = 0.

Um den Median stark zu verändern, braucht es mindestens 50 % Ausreisser in einer Stichprobe. Der Bruchpunkt des Medians erreicht den höchstmöglichen Wert von ε* = 0.5.

Der Median ist also ein sehr robustes Lagemass.2 Er hat aber den Nachteil, dass die Berechnung eine Sortierung der Stichprobe voraussetzt, was bei grossen Stichproben aufwändig ist. Ausserdem kann er nicht für so viele statistische Testverfahren eingesetzt werden wie das arithmetische Mittel. Im Weiteren ist er bei schiefen Verteilungen nicht zur Berechnung von Kosten­gewichten geeignet, da dann der gewichtete Durchschnitt aller Kosten­gewichte in der gruppierten und ge­trimmten Stichprobe nicht den durch­schnitt­lichen relativen Kosten entspricht.

Gesucht ist also ein Mittel­wert, der dem arithmetischen Mittel­wert in der Grundgesamtheit entspricht, der aber nicht oder wenigstens nur wenig durch Ausreisser in der Stichprobe beeinflusst wird.

Als Beispiel werden hier die Regeln aufgeführt, die bei der Berechnung der Schweizerischen APDRG-Kosten­gewichte der 2. Version benutzt wurden:

1. Der obere Grenzwert wird beim 99 %-Perzentil angesetzt.
2. Der untere Grenzwert wird so berechnet, dass die ge­trimmte Stichprobe den gleichen Mittel­wert aufweist, wie die gewählte Verteilung, die zur Stichprobe passt. (Im Falle der APDRG-Kosten­gewichte wurde durchgehend die Gamma-Verteilung gewählt, was für viele DRGs besser vertretbar ist, als die üblicherweise gewählte Lognormal-Verteilung.)

   Zur Berechnung des unteren Grenzwertes wird zuerst der Inter­quartils­abstand der loga­rith­mi­sierten Quartilswerte der Stichprobe berechnet:
   s = ln(Q3) - ln(Q1).

   Zur Kontrolle, ob die Gamma-Verteilung zur Abbildung der beobachteten Werte verwendet werden kann, müssen als Nächstes folgende Hilfswerte berechnet werden:
   k_low = 1.718 + 0.167s - 0.153s² + 0.024s³,
   k_high = 1.7 - 0.437s + 0.071s².

   Mit der Gamma-Verteilung kann gearbeitet werden,
   wenn k_low zwischen 1.55 und 1.75 liegt,
   und wenn k_high zwischen 1.10 und 1.60 liegt.

3. Nun können die Grenzwerte ausgehend vom Median (Q2) berechnet werden als:
   t_low = exp[ ln(Q2) - k_lows ]
   t_high = exp[ ln(Q2) + k_highs ]
4. Schliesslich wird der Mittel­wert berechnet als das arithmetische Mittel aller Stichprobenfälle, welche zwischen t_low und t_high liegen.

Bei der Berechnung des Mittel­wertes bei einer beobachteten Verteilung, die mit einer Weibull-Verteilung angenähert abgebildet werden kann, gilt ebenfalls grundsätzlich der gleiche Algorithmus wie oben für Gamma-Verteilungen dargestellt. Die k-Werte werden nun wie folgt berechnet:
k_low = 3.260 - 1.360s + 0.200s²
k_high = 1.200

Mit der Weibull-Verteilung kann gearbeitet werden, wenn k_low zwischen 1.0 und 3.0 liegt.

Die Weibull-Verteilung wurde erstmals zur Beschreibung von Materialermüdungserscheinungen verwendet. Es zeigte sich, dass sie auch nützlich war bei der Beschreibung von Ausfällen von Elektronenröhren, Kugellagern usw. Die Weibull-Verteilung kann somit also auch zur Berechnung der Überlebenswahrscheinlichkeiten dienen. Übertragen auf einen Kranken­haus­aufenthalt kann damit die Wahr­schein­lich­keit angegeben werden, dass ein Patient länger als x Tage im Krankenhaus ist. Sie beträgt: exp(-αx^β).4

Die Verteilungsfunktion zur Weibull-Verteilung lautet:
F(x) = 1 - exp(-αx^β) für x > 0.
Die Dichtefunktion zur Weibull-Verteilung lautet:
f(x) = αβx^β-1exp(-αx^β) für x > 0.

Bei der AQTM-Berechnung können die Parameter der zu verwendenden Weibull-Verteilung geschätzt werden als:
α = (b-a) / [ ln(Q3)-ln(Q1) ]
β = Q2 exp(-c/α)
wobei: a = ln[ln(4/3)], b=ln[ln(4)], c=ln[ln(2)].